为什么我等的公交车总是迟到？这如果不是一种错觉，那我就像拥有了超能力一样，因为我的等待而产生了神秘的力量让公交车迟到。仿佛是量子力学在宏观世界的表现，因为我的观测而对公交车产生了扰动。如果不是衰神附体，那这股神秘的力量究竟是什么？本文将使用严格的数学证明来解释这一神秘的力量。
数学证明
要使用严格的数学证明，首先我们需要用数学语言来定义问题。
首先我们定义计数过程 \(N(t)\)，表示直至 \(t\) 时刻为止（含）到达的公交车的数量；第 \(n\) 辆公交车到达的时刻记作 \(S_n\)，第 \(n-1\) 辆公交车与第 \(n\) 辆公交车的到达间隔记作 \(X_n\)；并且我们假设公交车到达的时间间隔 \(X_n\) 是相互独立的并且都服从相同的分布 \(F\)，这样的假设也符合实际的生活经验。通过以上的定义，我们便得到了一个更新过程 \(\{N(t), t \geq 0\}\)。
下面我们证明 \( P\{X_{N(t)+1} \geq x\} \geq \bar{F}(x) \)，包含 \(t\) 的区间长度大于 \(x\) 的概率比普通的区间大于 \(x\) 的概率更大，也即假设我们在 \(t\) 时刻到达公交车站开始等公交车，那么我们所处的这个区间，公交车的到达间隔相较于平常为更大的概率会更大。
$$\begin{align}
P\{X_{N(t)+1} \geq x\} &= \int_0^{\infty} P\{X_{N(t)+1} \geq x | S_{N(t)} = s \}dF_{S_{N(t)}}(s)\\
&= \int_0^{\infty} P\{X_{N(t)+1} \geq x | X_{N(t) + 1} > t – s \}dF_{S_{N(t)}}(s) \\
&= \int_0^{\infty} \frac{P\{X_{N(t)+1} \geq x, X_{N(t) + 1} > t – s \}}{P\{X_{N(t) + 1} > t – s \}}dF_{S_{N(t)}}(s) \\
&= \int_0^{\infty} \frac{1 – F(max\{x, t-s\})}{1 – F(t-s)}dF_{S_{N(t)}}(s) \\
&= \int_0^{\infty} min\{\frac{1 – F(x)}{1 – F(t-s)}, \frac{1 – F(t-s)}{1 – F(t-s)}\}dF_{S_{N(t)}}(s) \\
&= \int_0^{\infty} min\{\frac{1 – F(x)}{1 – F(t-s)}, 1\}dF_{S_{N(t)}}(s) \\
&\geq \int_0^{\infty} 1 – F(x)dF_{S_{N(t)}}(s) \\
&= \bar{F}(x)
\end{align}$$
如果更加具体的假设公交车的到达间隔服从均值为 \(\lambda\) 的指数分布，也即
$$F(x) = 1 – e^{-\lambda x}$$
那么我们可以得到：
$$\begin{align}
P\{X_{N(t)+1} \geq x\} &= \int_0^{\infty} \frac{e^{-\lambda x} }{e^{-\lambda(t-s)}}dF_{S_{N(t)}}(s) \\
&= \int_0^{t-x} dF_{S_{N(t)}}(s) + \int_{t-x}^t e^{-\lambda x} dm(s) \\
&= – e^{-\lambda t} + (1 + x/\lambda)e^{-\lambda x} \\
& = – e^{-\lambda t} > \bar{F}(x)
\end{align}$$
至此我们严格证明了我们等待公交车的时间更可能比一般公交车到达的间隔要长！这看起来似乎不可理喻，然而数学不会撒谎，这就是随机过程中的检验悖论（inspection paradox）。
问题出在哪？
我们的等待区间倾向于更长，这似乎与我们初始的假设独立同分布相矛盾，那么问题究竟出在哪呢？下面我们用更加直观的方式去理解这个问题。
我们将公交车的到达想象为时间轴上的一系列点，我们到达公交车站的时刻就是随机的在这个时间轴上取一点，那么很显然，我们的到达时刻落在更长的区间里的概率更大。也就是说我们的到达实际上并没有等可能地落在所有区间中，而是更加倾向于较长的区间。那么我们等待的区间更长也就不足为奇了，因为这并非是一个无条件概率，本质是一个条件概率，即在我们“随机”选中某个区间进行等待的条件下，该区间长度的分布，而我们忽略的这个条件中的“随机”并没有真的随机，因为他实际上已经为我们筛选了更长的区间。
一个更加著名也更加易于理解的例子是“飞机问题”中的幸存者偏差。在二战期间，人们发现幸存的轰炸机中，机翼中弹的数量很多，而机身中弹的却很少。因此人们认为我们应该加固飞机的机翼。其实不然，就是因为机翼中弹多还能飞回来，所以机翼中弹并没有影响飞机返航；而机身中弹的少则说明了子弹打中机身对飞机的影响更大，导致飞机不能返航。
我更喜欢用另外一个更具哲学意味的例子去阐述这个问题。产生生命的条件是如此之苛刻和机缘巧合，人类这么精巧的生命产生是几乎不可能的，为什么又会有人类产生呢？那么正是因为产生了人类，才会有人去思考这样一个问题，那么这个概率也从不可能变成了必然。
经济学的困境
这就像量子力学的测不准原理一样，因为我们的观测而对被观测对象产生的影响，从而对观测结果产生了干扰。好在与这个不同是，我们可以在公交车站等一天甚至等一年的车，通过多次观测来保证采样的无偏性，大数定律会给你答案。
然而不幸的是，并非所有的实验都可以多次进行，尤其是在社会科学比如经济学的语境下。我们很多时候只能观测和解释，并不能设计和实施实验。经济学中很多理论都是基于对经济现象的观测，根据时间的先后关联和一系列的抽象和假设对现象进行解释。然而时间的先后关联并不能代表逻辑的因果关系，更何况我们的观测反过来又会影响其本身的概率分布。就像明代思想家王阳明的那朵花一样，“你未看此花时，此花与汝心同归于寂。你来看此花时，则此花颜色一时明白起来”。
虽然这样未免太过于唯心，周遭的世界并不会由于我们的意识而存在或消失或改变，然而我想没人可以证伪我们所感受到的一切只是心中的意识，我所唯一能确定的是此刻这个宇宙中有一个人正在思考这个问题，而当我不思考的时候，这个也变得不确定起来。这就是笛卡尔所言的“我思故我在”吧。
Reference:
Ross, S. M., Kelly, J. J., Sullivan, R. J., Perry, W. J., Mercer, D., Davis, R. M., … & Bristow, V. L. (1996). Stochastic processes (Vol. 2). New York: Wiley.